Question

17．已知tan（π+α）=2，求下列各式的值：
（1）$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}$；  
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}$．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入求解即可．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入求解即可．

解答 解：（1）由已知得tanα=2．
∴$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}=\frac{2sinα+cosα}{-sinα-3cosα}=\frac{2tanα+1}{-tanα-3}=-1$．
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}=\frac{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}{{4sinαcosα-3{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}$=$\frac{{{{tan}^2}α+1}}{{4tanα-3-{{tan}^2}α}}=5$

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力．