Question

3．設(shè)a₀為常數(shù)，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊），求a_n．

Answer 1

分析 通過對(duì)a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊）變形、整理可構(gòu)造等比數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$}，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1-$\frac{2}{3}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$（n∈N₊），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$-$\frac{3}{5}$），
又∵a₀為常數(shù)，即$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$），
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$}是首項(xiàng)為-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$）、公比為-$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$=（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n}$，
∴a_n=[$\frac{3}{5}$+（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n}$]•3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，構(gòu)造等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．