Question

如果f（x）=2x+1，則

f(f(f(…f(x)…)))

n個f

=

 

．

Answer 1

分析：本題知道了外層與內(nèi)層函數(shù)的解析式求復(fù)合函數(shù)的解析式，解答此題應(yīng)用代入法，由于本題是求n重復(fù)合函數(shù)的解析式，故解答時宜用數(shù)學(xué)歸納法來求解．

解答：解：當(dāng)n=1時，f（x）=2x+1=2¹x+2¹-1，
當(dāng)n=2時，f（f（x））=f（2x+1）=2（2x+1）+1=4x+3=2²x+2²-1，
假設(shè)當(dāng)n=k時，

f(f(f(…f(x)…)))

k個f

=2^kx+2^k-1
n=k+1時，

f(f(f(…f(x)…)))

k+1個f

=2×（

f(f(f(…f(x)…)))

k個f

）=2×（2^kx+2^k-1）+1=2^k+1x+2^k+1-1
故有

f(f(f(…f(x)…)))

n個f

=2ⁿx+2ⁿ-1
故答案為：2ⁿx+2ⁿ-1

點評：本題考點是函數(shù)解析式的求解與常用方法，本題考查求復(fù)合函數(shù)的解析式，此類題做法常用代入法，代入法是求復(fù)合函數(shù)解析式的一種經(jīng)常用的方法，難度也較低，認真整理變形即可得到正確的解析式．