【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為，斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（，異于橢圓的頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)可知，，再結(jié)合即可求出；

（2）依題設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線和橢圓方程求出，，再根據(jù)以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)可得，代入化簡(jiǎn)可得，求出，即可知直線過(guò)定點(diǎn)．

（1）由題可知，，而，解得．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題設(shè)直線：，，，，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程得：，

，，，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，

所以，將，代入化簡(jiǎn)可得，，解得或.

當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為右頂點(diǎn)，與題意不符，舍去．

∴，即直線過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長(zhǎng)為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】年底，湖北省武漢市等多個(gè)地區(qū)陸續(xù)出現(xiàn)感染新型冠狀病毒肺炎的患者，為及時(shí)有效地對(duì)疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行流行病學(xué)統(tǒng)計(jì)分析，某地研究機(jī)構(gòu)針對(duì)該地實(shí)際情況，根據(jù)該地患者是否有武漢旅行史與是否有確診病例接觸史，將新冠肺炎患者分為四類(lèi)：有武漢旅行史（無(wú)接觸史），無(wú)武漢旅行史（無(wú)接觸史），有武漢旅行史（有接觸史）和無(wú)武漢旅行史（有接觸史），統(tǒng)計(jì)得到以下相關(guān)數(shù)據(jù)：

有接觸史

無(wú)接觸史

總計(jì)

有武漢旅行史

無(wú)武漢旅行史

總計(jì)

（1）請(qǐng)將上面列聯(lián)表填寫(xiě)完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系？

（2）已知在無(wú)武漢旅行史的名患者中，有名無(wú)癥狀感染者.現(xiàn)在從無(wú)武漢旅行史的名患者中，選出名進(jìn)行病例研究，求人中至少有名是無(wú)癥狀感染者的概率.

下面的臨界值表供參考：

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為橢圓C：（，）上一點(diǎn)，和分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的上頂點(diǎn)，且.

（1）橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)A、B、P為橢圓C上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，直線與直線交于點(diǎn)Q，試判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式時(shí)恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線與軸的交點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的傾斜角.

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