Question

已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足||||＋·＝0.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線l的斜率為k，且與曲線C相交于點(diǎn)S、T，若S、T兩點(diǎn)只在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

(1) y²＝－8x

(2) (－∞，－6)

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，根據(jù)題意則有：

＝(4,0)，||＝4，||＝，＝(x－2，y)，

代入||||＋·＝0，得：4＋4(x－2)＝0.

整理得點(diǎn)P的軌跡C的方程：y²＝－8x.

 (2)設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，

由題意得：ST的方程為y＝k(x－2)(顯然k≠0)

與y2＝－8x聯(lián)立消元得：ky2＋8y＋16k＝0，

則有：y1＋y2＝－，y1y2＝16.

因?yàn)橹本�交軌跡C于兩點(diǎn)，

則Δ＝b2－4ac＝64－64k2＞0，

再由y1＞0，y2＞0，則－＞0，故－1＜k＜0.

可求得線段ST中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－＋2，－)，

所以線段ST的垂直平分線方程為

y＋＝－(x＋－2)．令y＝0得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為xQ＝－2－，

xQ＝－2－＜－6.，所以Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(－∞，－6)．