Question

已知函數(shù)f( x) 的定義域?yàn)閇0，1]，且滿足下列條件： ①對(duì)于任意x∈[0，1]，總有f(x)≥3，且f(x)＝4； ②若x1≥0，x2≥0,x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3 (1) 求f( 0) 的值； (2) 求證：f(x)≤4； (3) 當(dāng)時(shí)，試證明：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令， 由①對(duì)于任意[0,1]，總有，∴1分 又由②得即2分 ∴3分
(2)	解：任取且設(shè)則 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0490/0020/9415d5a8fb898e1492a5dd08a6d9277e/C/Image254.gif" width=64 HEIGHT=21>，所以，即∴．5分 ∴當(dāng)[0,1]時(shí)，．6分
(3)	證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，，不等式成立；7分 ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)， 由 得即 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立；10分 由①、②可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立．11分 于是，當(dāng)時(shí)，， 所以，13分