Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當a=1時，對任意的正整數(shù)n＞1，求證：f(

n

n-1

)＞0．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則[1，+∞）是函數(shù)增區(qū)間的子區(qū)間，求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再讓[1，+∞）的區(qū)間端點與函數(shù)增區(qū)間的區(qū)間端點比較即可．
（2）a=1時，求f（x）的導數(shù)，再令導數(shù)等于0，得到的x的值為函數(shù)的極值點，在借助函數(shù)在[

1

2

，2]上的單調(diào)性，判斷函數(shù)當x為何值時有最大值，何時有最小值．
（3）借助（1）中判斷的函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，把證明f(

n

n-1

)＞0轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值大小的問題．

解答：解：（1）由已知：f′(x)=

ax-1

ax2

，
依題意：

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）成立，
∴ax-1≥0，對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

，對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥(

1

x

)max，即a≥1．             
（2）當a=1時，f′(x)=

x-1

x2

，x∈[

1

2

，2]，
若x∈[

1

2

，1），則f′（x）＜0，
若x∈（1，2]，則f′（x）＞0，
故x=1是函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上唯一的極小值點，也就是最小值點，
故f（x）_min=f（1）=0．                 
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，則f（

1

2

）-f（2）=1-ln2-（-

1

2

+ln2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

，
∵e³＞2.7³=19.683＞16，
∴f（

1

2

）-f（2）＞0，∴f（

1

2

）＞f（2），
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大值是f（

1

2

）=1-ln2，
∴f（x）在[

1

2

，2]上最大1-ln2，最小0．       
（3）當a=1時，由（1）知，f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）是增函數(shù)．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0．

點評：本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性，極值之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．導函數(shù)等于于0時為極值點．