Question

已知直線C₁： ，(t為參數(shù))，圓C₂： (θ為參數(shù))．

（I）當α＝時，求C₁與C₂的交點的直角坐標；

（II）過坐標原點O作C₁的垂線，垂足為A，P為OA的中點．當α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

（I）C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)．（II）P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．

【解析】本試題主要是考查了參數(shù)方程與極坐標方程之間的轉換以及直線與圓的位置關系的運用。利用參數(shù)方程消去參數(shù)的思想求解軌跡方程的綜合運用。

（1）當α＝時，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)

（II）由C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點坐標為(sin²α，－cosαsinα)，故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為

 ，消去參數(shù)求解得到軌跡方程

解：（I）當α＝時，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)．…（5分）

（II）C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點坐標為(sin²α，－cosαsinα)，

故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為

 ，(α為參數(shù))． P點軌跡的普通方程為(x－)²＋y²＝.

故P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．