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17.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2cos2A2=33sinA,sin(B-C)=4cosBsinC,則c=1+6

分析 利用二倍角公式化簡求出cosA=-12,由余弦定理得a2=b2+c2+bc,將sin(B-C)=4cosBsinC展開得sinBcosC=5cosBsinC,利用正余弦定理將角化邊,即可得出關(guān)于c的一元二次方程,解出即可.

解答 解:在△ABC中,∵2cos2A2=33sinA,∴1+cosA=33sinA,∴1+2cosA+cos2A=13sin2A=1313cos2A.
23cos2A+cosA+13=0,解得cosA=-12或cosA=-1(舍).
2+c2a22bc=-12,∴a2=b2+c2+bc.
∵sin(B-C)=4cosBsinC,
∴sinBcosC=5cosBsinC.即bcosC=5ccosB.
∴b×a2+2c22ab=5c×a2+c222ac,即2a2+3c2-3b2=0.
把a(bǔ)2=b2+c2+bc代入上式得2(b2+c2+bc)+3c2-3b2=0,
即5c2-b2+2bc=0.
∴-(c2+2c+5=0,解得c=1+6\frac{c}=1-6(舍).
故答案為:1+6

點評 本題考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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