Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，sin（B-C）=4cosBsinC，則$\frac{c}$=1+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化簡求出cosA=-$\frac{1}{2}$，由余弦定理得a²=b²+c²+bc，將sin（B-C）=4cosBsinC展開得sinBcosC=5cosBsinC，利用正余弦定理將角化邊，即可得出關(guān)于$\frac{c}$的一元二次方程，解出即可．

解答 解：在△ABC中，∵2cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，∴1+cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，∴1+2cosA+cos²A=$\frac{1}{3}$sin²A=$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{3}$cos²A．
∴$\frac{2}{3}$cos²A+cosA+$\frac{1}{3}$=0，解得cosA=-$\frac{1}{2}$或cosA=-1（舍）．
∴$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，∴a²=b²+c²+bc．
∵sin（B-C）=4cosBsinC，
∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．
∴b×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=5c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，即2a²+3c²-3b²=0．
把a²=b²+c²+bc代入上式得2（b²+c²+bc）+3c²-3b²=0，
即5c²-b²+2bc=0．
∴-（$\frac{c}$）²+2$\frac{c}$+5=0，解得$\frac{c}$=1+$\sqrt{6}$或$\frac{c}$=1-$\sqrt{6}$（舍）．
故答案為：1+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查余弦定理、正弦定理的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．