Question

如圖，已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AP=BP=

2

2

，PC=

2

．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）（理科）求二面角A-PC-D的余弦值；
（文科）求三棱錐D-PAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，證明PE⊥平面ABCD，（2）（理科）在Rt△PEC中，過點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F，連接AF，過A作平面PCD的垂線，
垂足為H，連接FH．（文科）V_D-PAC=V_P-DAC，底面與高都很簡(jiǎn)單．

解答： 解：（1）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，
則PE是等腰三角形PAB的底邊上的中線，則PE⊥AB．
∴PE=1，CE=

3

，PC=2．∴PE⊥CE．
又∵AB，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）（理科）如圖，在Rt△PEC中，過點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F，連接AF，過A作平面PCD的垂線，
垂足為H，連接FH．
∵AE⊥EC，AE⊥PE，
∴AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．
又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF，
又PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．
故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC知，EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．
又EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD，
∵AH⊥面PCD，∴AH∥EF．
∵AB∥面PCD，
所以A、E兩點(diǎn)到平面PCD的距離相等，
AH=EF，
∴AEFH為矩形，且∠AFH=∠EAF，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=

3

2

，AF=

7

2

，
∴cos∠EAF=

AE

AF

=

2 7

7

；
所以二面角A-PC-D的余弦值為

2 7

7

．
（文科）V_D-PAC=V_P-DAC=

1

3

•

1

2

•2•2sin60°•1=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的作圖能力，及轉(zhuǎn)化的思想，化簡(jiǎn)要細(xì)心，屬于中檔題．