(1)當(dāng)a≥0時,f(x)是否存在最小值?若存在,請求出相應(yīng)x的值;若不存在,請說明理由.
(2)當(dāng)x∈[-2,]時,若f(x)的圖象上存在兩點M,N,使得直線MN⊥y軸,求實數(shù)a的取值范圍.
解析:(1)∵f′(x)=(x2+2x-2ax-2a)ex,令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0,
解得x1=a-1,x2=a-1+
.
∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0.
當(dāng)x<x1或x>x2時,f′(x)>0;當(dāng)x1<x<x2時,f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減.
∴f(x)在x1處取極大值,在x2處取得極小值.
又∵當(dāng)x=0時,f(x)=0;
當(dāng)x<0時,f(x)=x(x-2a)ex>0,
∴x∈(-∞,a-1-)時,f(x)∈(0,f(a-1-
)).
x∈(a-1-,a-1+
)時,
f(x)∈(f(a-1-),f(a-1+
));
x∈(a-1+,+∞)時,f(x)∈(f(a-1+
),+∞),
又f(a-1+)=(2-2
)ea-1+
≤0,
∴x=a-1+時,f(x)取得最小值.
(2)∵x∈[-2,]時f(x)的圖象上存在兩點M,N,使得直線MN⊥y軸,則x∈[-2,
]時f(x)不是單調(diào)增函數(shù),也不是單調(diào)減函數(shù),
∴f′(x)=(x2+2x-2ax-2a)ex在x∈[-2,]上有正有負(fù).
∴g(x)=x2+2x-2ax-2a在x∈[-2,]上有正有負(fù).
而g(-1)=1-2+2a-2a=-1<0,
∴g(x)=x2+2x-2ax-2a在x∈[-2,]上有正有負(fù)的充要條件為
g(-2)g()<0或
或
由g(-2)g()<0,解得a>0或a<
;
由或
解得a不存在.
綜上,a的取值范圍是a>0或a<.
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1 |
π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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A、(
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B、(
| ||||
C、(
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D、[
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2x-2-x | 2x+2-x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x-1 | x+a |
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