Question

A∈平面α．AB=5，AC=2

2

，若AB與α所成角正弦值為0.8，AC與α成45⁰角，則BC距離的范圍（　�。�

• A、[

  5

  ，

  29

  ]
• B、[

  37

  ，

  61

  ]
• C、[

  5

  ，

  29

  ]
• D、[

  5

  ，

  29

  ]∪[

  37

  ，

  61

  ]

Answer 1

分析：作BD⊥α，垂足為D，作CE⊥α，垂足為E，連接AE，AD，DE，過C作CF⊥BD，垂足為F，根據(jù)AB與α所成角正弦值為0.8，AC與α成45⁰角，
求得AE，CE，BD，AD，設(shè)∠DAE=θ，分BC在平面α的同側(cè)和異側(cè)兩種情況列出BC關(guān)于θ的函數(shù)式，根據(jù)0≤θ≤π，求出BC的求值范圍．

解答：解：當(dāng)B、C在平面α的同側(cè)時(shí)如圖作BD⊥α，垂足為D，作CE⊥α，垂足為E，連接AE，AD，DE，
過C作CF⊥BD，垂足為F，
則AD、AE分別為AB、AC在α內(nèi)的射影，∴∠BAD，∠CAE分別為AB、AC與平面α所成的角，
∵AB與α所成角正弦值為0.8，AC與α成45⁰角，
∴AE=CE=2，BD=4，AD=3，
設(shè)∠DAE=θ，BF=4-2
∴BC=

CF2+BF2

=

4+9+4-2×2×3×cosθ

=

17-12cosθ

，
∵0≤θ≤π，∴

5

≤BC≤

29

當(dāng)B、C在平面α的異側(cè)時(shí)，BF=4+2=6，
則BC=

CF2+BF2

=

36+9+4-2×2×3×cosθ

，
∵0≤θ≤π，∴

37

≤BC≤

61

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面所成的角，考查了學(xué)生的作圖能力與空間想象能力，體現(xiàn)了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想，正確的作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．