Question

已知二項(xiàng)式（

x

+

3

x

）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則展開(kāi)式中x的系數(shù)等于

135

．

Answer 1

分析：本題對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)的和可以通過(guò)賦值令x=1來(lái)求解，而各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ，最后通過(guò)比值關(guān)系為64即可求出n的值是6．利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1，求出r，將r的值代入通項(xiàng)求出展開(kāi)式的x的系數(shù)

解答：解：令 (

x

+

3

3 x

)n中x為1得各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ
又展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ
∵各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64
∴

4n

2n

=64
解得n=6
展開(kāi)式的通項(xiàng)為 T_r+1=3^rC₆^rx^3-r
令3-r=1得r=2
所以展開(kāi)式中x的系數(shù)等于9C₆²=135
故答案為135．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和的重要方法是賦值法、考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用展開(kāi)式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ