Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

3

2

且滿足a_n+1-2a_n+1=0
（1）求數(shù)列{ a_n }的通項公式；
（2）計算

lim

n→∞

sn-n

an

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-2a_n+1=0可得a_n+1=2（a_n-1）可得數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，可求
（2）由（1）an-1=

1

2

×2n-2即an=2n-2+1，利用分組可求S_n=(

1

2

+1)+(1+1)+(2+1)+…+（2^n-2+1），代入即可求解

解答：解：（1）由a_n+1-2a_n+1=0可得a_n+1-1=2（a_n-1）
∵a1-1=

1

2

∴數(shù)列{a_n-1}是以

1

2

為首項以2為公比的等比數(shù)列4分）      
（2）由（1）an-1=

1

2

×2n-2即an=2n-2+1
（也可以求幾項，猜結(jié)論，數(shù)學(xué)歸納法證明） （8分） 
∵S_n=(

1

2

+1)+(1+1)+(2+1)+…+（2^n-2+1）
=(

1

2

+1+2+…+2n-2)+n
=2n-1+n-

1

2

∴

lim

n→∞

Sn-n

an

lim

n→∞

2n-1- 1 2

2n-2+1

=2 （12分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求解通項，分組求和方法及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及數(shù)列極限的求解