Question

已知m＞1，直線l：x-my-

1

2

m²=0，橢圓C：

x2

m2

+y²=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
（Ⅰ）當(dāng)直線l過(guò)F₂時(shí)，求m的值；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，若原點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把F₂代入直線方程求得m，則直線的方程可得．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，且根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據(jù)△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，可知G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)原點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知c=

m2-1

，l交x軸于（

m2

2

，0）為F₂（c，0），

m2

2

=

m2-1

，得m=

2

…（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
因?yàn)椤鰽F₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，所以G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
因?yàn)樵�點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0  …（5分）
直線l：x-my-

1

2

m²=0，橢圓C：

x2

m2

+y²=1聯(lián)立可得2y²+my+

m2

4

-1=0
則由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，①…（6分）
且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．                                  …（7分）
∴而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

）
所以

m2

8

-

1

2

＜0，即m²＜4
又因?yàn)閙＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．