Question

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請(qǐng)找出區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）若函數(shù)∈M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）判斷函數(shù)y=-x³是否屬于集合M即檢驗(yàn)函數(shù)y=-x³是否滿足①②，①可利用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性，②即判斷是否有解．
（Ⅱ）若函數(shù)∈M，可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)，故g（x）滿足②即方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，方法一：平方去根號(hào)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上解的問題，利用實(shí)根分布處理；方法二：可轉(zhuǎn)化為方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合圖象求解．兩種方法中都要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化．
解答：解：（Ⅰ）y=-x³的定義域是R，
∵y^/=-3x²≤0，∴y=-x³在R上是單調(diào)減函數(shù)．
則y=-x³在[a，b]上的值域是[-b³，-a³]．
由解得：或（舍去）或（舍去）
∴函數(shù)y=-x³屬于集合M，且這個(gè)區(qū)間是．

（Ⅱ）設(shè)，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)．
∵g（x）∈M，∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足，．
即方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
[法一]：方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
等價(jià)于方程在[2t，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
即方程x²-（4t+4）x+4t²+4=0在[2t，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
根據(jù)一元二次方程根的分布有
解得．
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是．
[法二]：要使方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
即使方程在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）時(shí)，，

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，
方程兩邊平方，得x²-（4t+4）x+4t²+4=0，由△=0，得t=0．
因此，利用數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)t的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問題，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．