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11.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x).
(1)已知方程f(x)=mx在[1312]上有解,求實數(shù)m的范圍;
(2)求證:當x∈(0,1)時,f(x)>2(x+x33);
(3)設正數(shù)k使得f(x)>k(x+x33)對x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.

分析 (1)方程有解,轉化為m=xf(x)在x∈[1312]有解,構造函數(shù),根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關系求出函數(shù)的值域即可,
(2)構造函數(shù)g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33),根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值即可判斷,
(3)構造函數(shù)h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-k(x+x33),再分類討論,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值的關系即可求出.

解答 解:(1)方程f(x)=mx在[13,12]上有解,即:m=xf(x)在x∈[1312]有解
令φ(x)=xf(x)=x[ln(1+x)-ln(1-x)]
所以φ′(x)=[ln(1+x)-ln(1-x)]+x(11+x+11x
因為x∈[13,12],所以1+x∈[43,32].1-x∈[1223]
所以ln(1+x)>0,ln(1-x)<0
所以[ln(1+x)-ln(1-x)]+x(11+x+11x)>0,即φ′(x)>0
所以φ(x)在區(qū)間[1312]上單調遞增            
因為 φ(13)=13(ln43-ln23)=13ln2,φ(12)=12(ln32-ln12)=13ln3
所以 φ(x)∈[13ln2,12ln3],
 所以m∈)∈[13ln2,12ln3],
(2)設g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33),
則g′(x)=11+x+11x-2(1+x2)=2x41x2,當x∈(0,1)時,g′(x)>0
所以g(x)在(0,1)是為增函數(shù),
則g(x)>g(0)=0,因此,x∈(0,1)時
所以ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33)>0
所以:當x∈(0,1)時,f(x)>2(x+x33);
(3)令h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-k(x+x33
要使得f(x)>k(x+x33)對x∈(0,1)恒成立,
則h(x)>0對x∈(0,1)恒成立,
h′(x)=11+x+11x-k(1+x2)=kx4+2k1x2
①當k∈[0,2]時,h′(x)≥0,函數(shù)h(x)在(0,1)上是增函數(shù),
h(x)>h(0)=0,符合題意
②當k>2時,令h′(x)=0,得:x=\root{4}{\frac{k-2}{k}}或x=-\root{4}{\frac{k-2}{k}}(舍去)
因為k>2,所以\root{4}{\frac{k-2}{k}}∈(0,1)

x(0,\root{4}{\frac{k-2}{k}}\root{4}{\frac{k-2}{k}}\root{4}{\frac{k-2}{k}},1)
h′(x)=-0+
h(x)1極小值Z
f(\root{4}{\frac{k-2}{k}})<f(0)=0顯然不成立,
綜上:k的最大值為2

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的最值的關系以及參數(shù)的取值范圍和函數(shù)恒成立的問題,關鍵是構造函數(shù),屬于中檔題.

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