分析 (1)方程有解,轉化為m=xf(x)在x∈[13,12]有解,構造函數(shù),根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關系求出函數(shù)的值域即可,
(2)構造函數(shù)g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33),根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值即可判斷,
(3)構造函數(shù)h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-k(x+x33),再分類討論,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值的關系即可求出.
解答 解:(1)方程f(x)=mx在[13,12]上有解,即:m=xf(x)在x∈[13,12]有解
令φ(x)=xf(x)=x[ln(1+x)-ln(1-x)]
所以φ′(x)=[ln(1+x)-ln(1-x)]+x(11+x+11−x)
因為x∈[13,12],所以1+x∈[43,32].1-x∈[12,23]
所以ln(1+x)>0,ln(1-x)<0
所以[ln(1+x)-ln(1-x)]+x(11+x+11−x)>0,即φ′(x)>0
所以φ(x)在區(qū)間[13,12]上單調遞增
因為 φ(13)=13(ln43-ln23)=13ln2,φ(12)=12(ln32-ln12)=13ln3
所以 φ(x)∈[13ln2,12ln3],
所以m∈)∈[13ln2,12ln3],
(2)設g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33),
則g′(x)=11+x+11−x-2(1+x2)=2x41−x2,當x∈(0,1)時,g′(x)>0
所以g(x)在(0,1)是為增函數(shù),
則g(x)>g(0)=0,因此,x∈(0,1)時
所以ln(1+x)-ln(1-x)-2(x+x33)>0
所以:當x∈(0,1)時,f(x)>2(x+x33);
(3)令h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-k(x+x33)
要使得f(x)>k(x+x33)對x∈(0,1)恒成立,
則h(x)>0對x∈(0,1)恒成立,
h′(x)=11+x+11−x-k(1+x2)=kx4+2−k1−x2
①當k∈[0,2]時,h′(x)≥0,函數(shù)h(x)在(0,1)上是增函數(shù),
h(x)>h(0)=0,符合題意
②當k>2時,令h′(x)=0,得:x=\root{4}{\frac{k-2}{k}}或x=-\root{4}{\frac{k-2}{k}}(舍去)
因為k>2,所以\root{4}{\frac{k-2}{k}}∈(0,1)
x | (0,\root{4}{\frac{k-2}{k}}) | \root{4}{\frac{k-2}{k}} | (\root{4}{\frac{k-2}{k}},1) |
h′(x)= | - | 0 | + |
h(x) | 1 | 極小值 | Z |
點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的最值的關系以及參數(shù)的取值范圍和函數(shù)恒成立的問題,關鍵是構造函數(shù),屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 等腰三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 等邊三角形 | D. | 等腰直角三角形 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 18π | B. | 18 | C. | 9π | D. | 9 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2x±y=0 | B. | √3x±y=0 | C. | x±y=0 | D. | √2x±y=0 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | … |
4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | … |
5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | … |
6 | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | … |
7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | … |
… | … | … | … | … | … | … |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | √22 | C. | 1 | D. | 2 |
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