已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得|
PF1
+
PF2
|=|
F1F2
|成立，則離心率的取值范圍為
 
．
分析：設(shè)
PF 1
，
PF 2
，
F 1F 2
的模分別為m，n，2c，橢圓的長軸長為2a，∠F1PF2=θ，把題設(shè)中的等式平方求得m2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得m2+n2-4c2=0，進(jìn)而 根據(jù)基本不等式求得a和c的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得離心率e的范圍．
解答：解：設(shè)
PF 1
，
PF 2
，
F 1F 2
的模分別為m，n，2c，橢圓的長軸長為2a，∠F1PF2=θ
則由題中條件可知，（兩邊平方），
m2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2；
又在△F1PF2中，由余弦定理得，
2mncosθ=m2+n2-4c2，
∴m2+n2-4c2=0
4c2=m2+n2≥
1
2
（m+n）2=2a2，即2c2≥a2
∴（
c
a
）2≥1/2，離心率e=
c
a
≥
2
2
，
又0＜e＜1，
∴
2
2
≤e＜1．
故答案為：[
2
2
，1)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案