Question

設函數(shù)f（x）=-x²+（m-2）x+2-m．
（1）若y=|f（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù),其他不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出函數(shù)的對稱軸，由于y=|f（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，則討論區(qū)間在對稱軸的右邊，且f（0）不小于0，區(qū)間在對稱軸的左邊，且f（0）不大于0．解出它們即可；
（2）假設存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．則f（a）=a，f（b）=a，a≤f（

m-2

2

）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整數(shù)a，b，再代入不等式檢驗即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=-x²+（m-2）x+2-m的對稱軸為x=

m-2

2

，
由于y=|f（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，則
①

m-2 2 ≤-1 f(0)=2-m≥0

即有

m≤0 m≤2

，②

m-2 2 ≥0 f(0)=2-m≤0

即有m≥2．
綜上，m≤0或m≥2；
（2）假設存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．
則f（a）=a，f（b）=a，a≤f（

m-2

2

）≤b，
即有-a²+（m-2）a+2-m=a①，-b²+（m-2）b+2-m=a②，a≤

m2-8m+12

4

≤b③
①-②可得a+b=m-2，代入①得-a²+a（a+b）-（a+b）=a，
再化簡得（a-1）（b-2）=2，因為a、b均為整數(shù)，所以a=2，b=4或a=-1，b=1．
當a=2，b=4時，③即2≤

82-82+12

4

≤4成立；當a=-1，b=1時，③即-1≤

22-8×2+12

4

≤1成立．
故存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，且a=2，b=4或a=-1，b=1．

點評：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及運用，以及含絕對值的二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，以及不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．