Question

已知函數．
（1）若函數f（x）在其定域義內為單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且．
①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2；
②若a₁=4，試比較與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

解（1）∵f（1）=a﹣b=0，∴a=b，
∴，∴f′（x）=a+﹣．
要使函數f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數，
則在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，
當a=0時，f′（x）=﹣＜0在（0，+∞）內恒成立；
當a＞0時，要使f′（x）=a（﹣）2+a﹣＞0恒成立，
則a﹣＞0，解得a＞1，
當a＜0時，要使f′（x）=a（﹣）2+a﹣＞＜0恒成立，
則a﹣＜0，解得a＜﹣1，
所以a的取值范圍為a＞1或a＜﹣1或a=0．
（2）①∵函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，
∴f′（1）=0，即a+a﹣2=0，解得 a=1
∴f′（x）=（﹣1）²，a_n+1=a_n²﹣na_n⁺¹
下面用數學歸納法證明：
（Ⅰ）當n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，
即：a_k≥k+2，∴a_k﹣k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k﹣k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2成立
根據（Ⅰ）（Ⅱ）對于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a_n﹣1（a_n﹣1﹣2n+2）+1≥a_n﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2a_n﹣1+1，
于是a_n+1≥2（a_n﹣1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n﹣1+1）
累乘得：a_n+1≤2^n﹣1（a₁+1），則≤ （n≥2），
所以≤ （1++…+ ）= （1﹣ ）＜．