Question

如圖，設(shè)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），；（2）不存在.參考解析

試題分析：（1）由準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，所以可以求得的值，即可取得拋物線(xiàn)的方程.由于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程消去y，需要判別式大于零即可得到k的取值范圍，又由于k等于零時(shí)沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以應(yīng)排除，即可得到結(jié)論.
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).由直線(xiàn)AB的方程聯(lián)立拋物線(xiàn)的方程，即可求得AB中點(diǎn)P的坐標(biāo).從而寫(xiě)出PF的方程再聯(lián)立拋物線(xiàn)的方程，對(duì)比DE的中點(diǎn)是否與AB的中點(diǎn)相同.即可得到答案.
（1）由已知得，∴．∴拋物線(xiàn)方程為．  2分
設(shè)的方程為，，，，，
由得．                         4分
，解得，注意到不符合題意，
所以．                                   5分
（2）不存在值，使點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．理由如下：       6分
有（1）得，所以，所以，，直線(xiàn)的方程為．            8分
由得，．  10分
當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，有，即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045554526421.png" style="vertical-align:middle;" />，所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．因此不存在值，使點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．      12分