Question

（2009•連云港二模）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量=，并且矩陣M對應的變換將點（﹣1，2）變換成（﹣2，4）．

（1）求矩陣M；

（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量的坐標之間的關系．

（3）求直線l：x﹣y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

 

Answer 1

（1）M=．（2）2x+y=0．（3）x﹣y+2=0．

【解析】

試題分析：（1）設出要求的矩陣，根據矩陣的特征向量和特征值，和把一個點變成另一個點的坐標，得到關系式，即得到關于字母的方程組，解方程組得到結果．

（2）根據第一問得到矩陣M的特征多項式，求出對應的特征值，設出矩陣的另一個特征向量，根據兩者的關系寫出結果．

（3）設出點（x，y）是直線l上的任一點，其在矩陣M的變換下對應的點的坐標為（x′，y′），根據變換前后寫出關系式，整理出要求的直線的方程．

【解析】
（1）設M=，則=8=，

故=，

故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，

故M=．

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，

故其另一個特征值為λ=2．

設矩陣M的另一個特征向量是e2=，

則M e2=，

解得2x+y=0．

（3）設點（x，y）是直線l上的任一點，

其在矩陣M的變換下對應的點的坐標為（x′，y′），

則=，

即，

代入直線l的方程后并化簡得x′﹣y′+2=0，

即x﹣y+2=0．