如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點,M是棱PC的中點,PA=PD=2,BC=
1
2
AD=1,CD=
3

(Ⅰ)求證:PE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值;
(Ⅲ)求直線BM與CD所成角的余弦值.
考點:直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件得PE⊥AD,由此能證明PE⊥平面ABCD.
(Ⅱ)連結(jié)EC,取EC中點H,連結(jié)MH,HB,由(Ⅰ)知PE⊥平面ABCD,由已知條件推導出∠MBH為BM與平面ABCD所成的角,由此能求出直線BM與平面ABCD所成角的正切值.
(Ⅲ)由CD∥BE,知直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角,由此能求出直線BM與CD所成角的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:∵PA=PD,E為AD的中點,∴PE⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PE⊥平面 ABCD.
(Ⅱ)解:連結(jié)EC,取EC中點H,連結(jié)MH,HB,
∵M是PC的中點,H是EC的中點,∴MH=PE,
由(Ⅰ)知PE⊥平面ABCD,
∴MH⊥平面ABCD,
∴HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴∠MBH為BM與平面ABCD所成的角,
∵AD∥BC,BC=
1
2
AD
,E為AD的中點,∠ADC=90°,
∴四邊形BCDE為矩形,∴EC=2,HB=
1
2
EC=1

又∵MH=
1
2
PE=
3
2
,
∴△MHB中,tan∠MBH=
MH
HB
=
3
2

∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為
3
2

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知CD∥BE,
∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角,
連接ME,Rt△MHE中,ME=
7
2

Rt△MHB中,BM=
7
2
,又BE=CD=
3
,
∴△MEB中,cos∠MBE=
BM2+BE2-ME2
2BM•BE
=
7
4
+3-
7
4
7
2
×
3
=
21
7
,
∴直線BM與CD所成角的余弦值為
21
7
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查直線與平面所成角的正切值的求法,考查直線與平面所成角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,角α(α∈(
π
6
,
π
2
))的終邊交單位圓于點A,將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
π
4
,交單位圓于點B.記A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若x1=
3
5
,求x2的值;
(Ⅱ)過點A、B分別作x軸的垂線,垂足依次為C、D,記△AOC、△BOD的面積分別為S1、S2,若S1=
3
S2,求角α的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,a2=5,a6=21,記數(shù)列{
1
an
}的前n項和為Sn,
(Ⅰ)數(shù)列{an}的通項an=
 
;
(Ⅱ)若S2n+1-Sn
m
15
對n∈N*恒成立,則正整數(shù)m的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設P的極坐標為(2,
π
6
),直線l過點P,且與θ=
π
4
平行,則直線l的極坐標方程為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知cos(α-
π
2
)=
4
5
,則cos2α=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中:
a
•(
b
-
c
)=
a
b
-
a
c
;
a
•(
b
c
)=(
a
b
)•
c

③(
a
-
b
2=|
a
|2-2|
a
|•|
b
|+|
b
|2;
④若
a
b
=0,則
a
=0或
b
=0;
⑤若
a
b
=
c
b
,則
a
=
c
;
⑥|
a
|2=
a
2;
a
b
a
2
=
b
a
;
⑧(
a
b
2=
a
2
b
2;
⑨(
a
-
b
2=
a
2-2
a
b
+
b
2
其中正確的是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設x,y∈R+且x+y=2,則
2
x
+
1
y
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x(x≥3)
f(x+1)(x<3)
,則f(2)=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2]的最小值是
 

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