Question

已知：函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x²，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求：實(shí)數(shù)a的值，并討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先求函數(shù)定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：f′(x)=

1

x+a

+2x，
因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，
所以有f'（-1）=0，
解得：a=

3

2

，…（3分）
可得f(x)=ln(x+

3

2

)+x2，定義域?yàn)椋?span id="m4dlohq" class="MathJye">-

3

2

，+∞），…（4分）
所以f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

，…（5分）
所以當(dāng) -

3

2

＜x＜-1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng) -1＜x＜-

1

2

時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng) x＞-

1

2

時(shí)，f'（x）＞0．
所以可得下表：

x	(- 3 2 ，-1)	-1	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（10分）
從而得到f（x）分別在區(qū)間 (-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)單調(diào)遞增，在區(qū)間 (-1，-

1

2

)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性．