已知:函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極值,求:實(shí)數(shù)a的值,并討論f(x)的單調(diào)性.
分析:先求函數(shù)定義域,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由題意可得,f′(-1)=0,代入可求a,代入a的值,分別解f′(x)>0,f′(x)<0,即可得到答案.
解答:解:由題意可得:f′(x)=
1
x+a
+2x
,
因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極值,
所以有f'(-1)=0,
解得:a=
3
2
,…(3分)
可得f(x)=ln(x+
3
2
)+x2
,定義域?yàn)椋?span id="lw4mgvz" class="MathJye">-
3
2
,+∞),…(4分)
所以f′(x)=
2x2+3x+1
x+
3
2
=
(2x+1)(x+1)
x+
3
2
,…(5分)
所以當(dāng) -
3
2
<x<-1
時(shí),f'(x)>0;當(dāng) -1<x<-
1
2
時(shí),f'(x)<0;當(dāng) x>-
1
2
時(shí),f'(x)>0.
所以可得下表:
x (-
3
2
,-1)
-1 (-1,-
1
2
)
-
1
2
(-
1
2
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
…(10分)
從而得到f(x)分別在區(qū)間 (-
3
2
,-1),(-
1
2
,+∞)
單調(diào)遞增,在區(qū)間 (-1,-
1
2
)
單調(diào)遞減.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意義,且在(0,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,又有函數(shù)g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,
π2
],若集合M={m|g(θ)<0},集合N={m|f[g(θ)]>0}.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)求M∩N.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=
2x2x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并證明之.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(diǎn)(
1
2
2
2
)
,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),證明f(x)在區(qū)間(-b,-a)上仍是減函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:函數(shù)f(x)=x3-6x2+3x+t,t∈R.
(1)①證明:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2
②求函數(shù)f(x)兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=exf(x)有三個(gè)不同的極值點(diǎn),求t的取值范圍.

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