已知:函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2,當x=-1時,f(x)取得極值,求:實數(shù)a的值,并討論f(x)的單調(diào)性.
分析:先求函數(shù)定義域,然后對函數(shù)求導,由題意可得,f′(-1)=0,代入可求a,代入a的值,分別解f′(x)>0,f′(x)<0,即可得到答案.
解答:解:由題意可得:f′(x)=
1
x+a
+2x
,
因為當x=-1時,f(x)取得極值,
所以有f'(-1)=0,
解得:a=
3
2
,…(3分)
可得f(x)=ln(x+
3
2
)+x2
,定義域為(-
3
2
,+∞),…(4分)
所以f′(x)=
2x2+3x+1
x+
3
2
=
(2x+1)(x+1)
x+
3
2
,…(5分)
所以當 -
3
2
<x<-1
時,f'(x)>0;當 -1<x<-
1
2
時,f'(x)<0;當 x>-
1
2
時,f'(x)>0.
所以可得下表:
x (-
3
2
,-1)
-1 (-1,-
1
2
)
-
1
2
(-
1
2
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
…(10分)
從而得到f(x)分別在區(qū)間 (-
3
2
,-1),(-
1
2
,+∞)
單調(diào)遞增,在區(qū)間 (-1,-
1
2
)
單調(diào)遞減.
點評:本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意義,且在(0,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,又有函數(shù)g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,
π2
],若集合M={m|g(θ)<0},集合N={m|f[g(θ)]>0}.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)求M∩N.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),當x∈(0,1)時,f(x)=
2x2x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并證明之.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(
1
2
,
2
2
)
,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),證明f(x)在區(qū)間(-b,-a)上仍是減函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知:函數(shù)f(x)=x3-6x2+3x+t,t∈R.
(1)①證明:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2
②求函數(shù)f(x)兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離;
(2)設函數(shù)g(x)=exf(x)有三個不同的極值點,求t的取值范圍.

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