Question

為了提高校園景觀，某校改造花圃用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調研確定，花圃規(guī)劃用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原花圃用地，測量可知邊界AB=AD=4米，BC=6米，CD=2米．
（Ⅰ）請計算原花圃用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（Ⅱ）因地理條件的限制，邊界AD，CD不能變更，而邊界AB，BC可以調整，為提高花圃改造用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P，使得花圃改造的新用地APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）連接AC，應用余弦定理及同角三角函數(shù)關系、面積公式求解；（2）當點P在圓弧ABC上的中點時，新用地APCD的面積最大，求三角形的高，然后求面積．

解答： 解：（Ⅰ）連接AC，則由∠B+∠D=π得，
cosB+cosD=0，
即

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

+

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

=0，
 即

16+36-AC2

2×4×6

+

16+4-AC2

2×4×2

=0，
解得，AC=2

7

，cosB=

1

2

，
∴sinB=sinD=

3

2

，
S_ABCD=

1

2

•AB•BC•SinB+

1

2

AD•DC•DC•sinD
=

1

2

×4×6×

3

2

+

1

2

×4×2×

3

2

=8

3

．
R=

AC

SinB

•

1

2

=

2 21

3

．
（Ⅱ）由圖可知，當點P在圓弧ABC上的中點時，新用地APCD的面積最大，
此時，點P到AC的距離為h=

2 21

3

+

( 2 21 3 )2- 7 2

=

21

，
則面積為S=

1

2

•AC•h+sACD=

1

2

×2

7

×

21

+2

3

=9

3

．

點評：四邊形的面積有時化為三角形求解，本題還考查了解三解形的知識．