【題目】設(shè)、為正整數(shù)，表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明：對于任意，存在無窮多個正整數(shù)，使得.

【答案】見解析

【解析】

通過遞歸構(gòu)造數(shù)列，使得該正整數(shù)數(shù)列的每一項均符合要求，并且對任何正整數(shù)，均有嚴(yán)格整除.

先假設(shè)為的一個質(zhì)因子.則是奇數(shù).

故.

從而，.

于是，滿足要求.

其次假設(shè)已經(jīng)取好.

接下來考慮.

（1）若有一個質(zhì)因子，則.

所以，符合條件且被嚴(yán)格整除，取即可.

（2）若的質(zhì)因子均是的質(zhì)因子，則與的質(zhì)因子標(biāo)準(zhǔn)分解式中的質(zhì)數(shù)全部一樣，設(shè)這兩個標(biāo)準(zhǔn)分解式為，.

由于（整體大于部分），故必存在某個.

不妨設(shè).則，

且

.

因?yàn)?/span>，所以，中含的冪次大于或等于.

從而，.

因此，取符合要求.

由（1）、（2）及歸納原理，知可以構(gòu)造出數(shù)列.

從而，存在無窮多個，…滿足要求.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：

(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

(2)某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：

①先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員，用表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐 中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.

(1)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:平面BDE;

(2)若點(diǎn)F在線段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時,求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；

（2）用X表示比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知100條線段的長度集合，試求從這些線段中任取三條線段能夠構(gòu)成三角形的概率。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從左到右依次寫出1到10000的全部正整數(shù)，然后去掉那些能被5或7整除的數(shù)，將剩下的數(shù)連成一排組成一個新數(shù)。試求：

（1）新數(shù)的位數(shù)；

（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對稱軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；

（2）若，證明：直線恒過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)均有，證明：存在無窮多個正整數(shù)對（），使得．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面，且．

（1）求證：平面；

（2）求鈍二面角的大�。�

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