Question

【題目】已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)，它們與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn).

（Ⅰ）若，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）①求證：對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，都有成立；

②求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①證明見(jiàn)解析；②.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線(xiàn)方程，代入橢圓方程,利用直線(xiàn)與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),求出直線(xiàn)的斜率,即可求直線(xiàn)的方程；（Ⅱ）①分類(lèi)討論,斜率不存在時(shí)成立，斜率存在時(shí)，利用判別式等于零可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得成立，即可證得結(jié)論；②記原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，可得，設(shè)面積為，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.

（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)的方程為,

代入橢圓，消去，

可得，
由,可得，
設(shè)的斜率分別為，
直線(xiàn)的方程分別為；
（Ⅱ）①證明:當(dāng)直線(xiàn)的斜率有一條不存在時(shí),不妨設(shè)無(wú)斜率
與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),所以其方程為,
當(dāng)的方程為時(shí)，此時(shí)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

的方程為(或，成立，
同理可證，當(dāng)的方程為時(shí)，結(jié)論成立;
當(dāng)直線(xiàn)的斜率都存在時(shí),設(shè)點(diǎn)且，
設(shè)方程為,代入橢圓方程，

可得，

由化簡(jiǎn)整理得，
，，
設(shè)的斜率分別為，

成立，
綜上,對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，都有成立；
②記原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，

因?yàn)?/span>，所以是圓的直徑，

所以，

面積為，，

，
.