Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-x-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）求證：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （I）判斷f（x）的單調(diào)性，從而計(jì)算f（x）的最大值；
（II）根據(jù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減可得f（x）＜-4，化簡(jiǎn)得ln（x）＜x-1，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…ln（n²+1）-2lnn!，根據(jù)f（x）的單調(diào)性化簡(jiǎn)，再使用不等式性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{1}{x}-1$，令f′（x）=0得x=1，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（1）=-4．
（II）證明：∵f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（1）=-4，即lnx-x-3＜-4，
∴l(xiāng)nx＜x-1在（1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴l(xiāng)n（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）-2lnn!
=ln$\frac{（{2}^{2}+1）•（{3}^{2}+1）•…•（{n}^{2}+1）}{{n}^{2}•（n-1）^{2}•（n-3）^{2}•…•{2}^{2}}$
=ln[（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]
=ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式，以及考查學(xué)生創(chuàng)造性的分析解決問題的能力，屬于中檔題．