函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)f'(x)是減函數(shù),且f′(x)>0.設(shè)x∈(0,+∞),y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))得的切線方程,并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m.
(Ⅰ)用x、f(x)、f′(x)表示m;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x).
【答案】分析:(I)先利用點(diǎn)斜式表示出切線方程,然后根據(jù)切線方程與y=kx+m是同一直線建立等式關(guān)系,求出m即可;
(II)比較g(x)與f(x)的大小可利用作差比較,構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-f(x),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性,求出函數(shù)h(x)的最小值,即可證得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:y-f(x)=f'(x)(x-x)
∴m=f(x)-xf'(x).
(Ⅱ)證明:令h(x)=g(x)-f(x),則h'(x)=f'(x)-f'(x),h'(x)=0.
因?yàn)閒'(x)遞減,所以h'(x)遞增,因此,當(dāng)x>x時(shí),h'(x)>0;
當(dāng)x<x時(shí),h'(x)<0.所以x是h(x)唯一的極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn),
可知h(x)的最小值為0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及比較兩函數(shù)的大小,比較大小常常運(yùn)用作差法進(jìn)行比較,屬于中檔題.