Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=3x²+（x-a）|x-a|
（1）若f（0）≥2，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥2的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,其他不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分a≥0和a＜0來討論；
（2）去絕對值后，利用配方法求出函數(shù)最小值；
（3）轉(zhuǎn)化為二次不等式，對方程的兩根和a分別作比較，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）f（0）≥2，-a|a|≥0，解得a≤0
（2）f（x）=3x²+（x-a）|x-a|=

3x2+(x-a)2 ;x≥a 3x2-(x-a)2 ;x＜a

=

4x2-2ax+a2(x≥a) 2x2+2ax-a2(x＜a)

當x≥a時，f(x)=4(x-

a

4

)2+

3a2

4

，當x=

a

4

且a≤0時，f(x)min=

3a2

4

當x＞a時，f(x)=2(x+

a

2

)2-

3a2

2

，當x=-

a

2

且a＞0時，f(x)min=-

3a2

2

∴綜上得：當a≤0時，f（x）的最小值為

3a2

4

，當a＞0時，f（x）有最小值為-

3a2

2

．
（3）當x∈（a，+∞）時，f（x）=3x²+（x-a）²=4x²-2ax+a²，≠
∴h（x）≥2即4x²-2ax+a²-2≥0
△=（2a）²-16（a²-2）=32-12a²
①當△≤0時，即a2≥

8

3

即a∈(-∞，-

2 6

3

]∪[

2 6

3

，+∞)時，解集為（a，+∞）；
②當△＞0時，a∈(-

2 6

3

，

2 6

3

)時，
令4x²-2ax+a²-2=0，得x₁=

a- 8-3a2

4

，x2=

a+ 8-3a2

4

∴4x²-2ax+a²-2≥0，x≤x₁ 或x≥x₂，
∵當a∈(-

2 6

3

，-

6

3

]時，x₁≤a，解集為(a，

a- 8-3a2

3

]∪[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
當a∈(-

6

3

，0]時，x₁＜a，解集為[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
當a=x₂時，a=

6

3

，當a∈[

6

3

，

2 6

3

)時，a＞x₂，解集為（a，+∞）；
當a∈(0，

6

3

)時，a＜x₂，解集為[

a+ 8-3a2

4

，+∞）．

點評：本題考查了含絕對值不等式解法，運用了分類討論、等價轉(zhuǎn)換、配方法等思想方法，是一道綜性較強的試題，屬于難題．