Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c（c＞0），拋物線y²=2cx的準(zhǔn)線交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°，其中O為原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $1+\sqrt{2}$
• C． $1+\sqrt{3}$
• D． $1+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意，A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入雙曲線方程，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，由此可得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，拋物線y²=2cx的準(zhǔn)線x=-$\frac{c}{2}$，且∠AOB=120°，可得A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入雙曲線方程，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
整理可得e⁴-8e²+4=0，∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．