Question

17．若函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[0，2]上的最大值是最小值的2倍，則a的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)函數(shù)，a＞1時(shí)，增函數(shù)，x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值．
1＞a＞0時(shí)，減函數(shù)，x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值，x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=a^x，
當(dāng)a＞1時(shí)，增函數(shù)，
x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，即f（0）=1，
x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，即f（2）=a²
由題意：最大值是最小值的2倍，
∴a²=2，
解得：a=$\sqrt{2}$
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，減函數(shù)，
x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，即f（0）=1
x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值．即f（2）=a²，
由題意：最大值是最小值的2倍，
∴2a²=1，
解得：a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用．當(dāng)?shù)讛?shù)a沒有說明范圍的時(shí)候，考分情況討論．