Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x²-bsinx=x²+bsinx，
∴2bsinx=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，∴b=0
所以f（x）=x²-2．
（2）∵g（x）=x²-2+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，
g′（x）=2x+2+．
∵函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上單調(diào)遞減
∴a≤-4．
分析：（1）先表示出F（x）的表達(dá)式，再根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進(jìn)而可確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將（1）中求出的函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）然后求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分離參數(shù)法，我們就可以求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．