Question

11．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為s_n，且${a_n}=\frac{2s_n^2}{{2{s_n}-1}}$（n≥2）
（1）證明$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$是等差數(shù)列，并求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$的前n項和P_n
（2）若${b_n}=\frac{s_n}{2n+1}+\frac{2^n}{s_n}$求數(shù)列的前項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，${a_n}={s_n}-{s_{n-1}}=\frac{2s_n^2}{{2{s_n}-1}}$，化簡得s_n-1-s_n=2s_ns_n-1，利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）由（1）可得S_n，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）證明：當n≥2時，${a_n}={s_n}-{s_{n-1}}=\frac{2s_n^2}{{2{s_n}-1}}$，
化簡得s_n-1-s_n=2s_ns_n-1，即$\frac{1}{s_n}-\frac{1}{{{s_{n-1}}}}=2$，又$\frac{1}{s_1}=\frac{1}{a_1}=1$，
所以數(shù)列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
$\frac{1}{s_n}=2n-1$，則P_n=$\frac{（1+2n-1）•n}{2}$=n²．
（2）由（1）得$\frac{1}{s_n}=2n-1$，
所以${s_n}=\frac{1}{2n-1}$，${b_n}=\frac{s_n}{2n+1}+\frac{2^n}{s_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}+（2n-1）×{2^n}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）+（2n-1）×{2^n}$，
所以${A_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$${B_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-3）×{2^{n-1}}+（2n-1）×{2^n}$，①$2{B_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（2n-3）×{2^n}+（2n-1）×{2^{n+1}}$，②
①-②得，$-{B_n}=1×2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^{n-1}}+2×{2^n}-（2n-1）×{2^{n+1}}$
=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴${T_n}={A_n}+{B_n}=\frac{n}{2n+1}+（2n-3）×{2^{n+1}}+6$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．