Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí), 求曲線的極值;

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）若對(duì)任意及時(shí), 恒有成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為.（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上零點(diǎn)。列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律得函數(shù)極值（2）由導(dǎo)函數(shù)為零點(diǎn)得，根據(jù)零點(diǎn)是否在定義區(qū)間上，以及兩個(gè)零點(diǎn)大小關(guān)系，分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間：共分四種情況，，，（3）多變量不等式恒成立問題，一般方法仍為變量分離法，先分離x得,即；再分離m得的最小值

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),, 解得(舍去),, 在上遞減, 在上遞增, 所以的極小值為.

（2）,令可得.

①當(dāng)時(shí), 由可得在上單調(diào)遞減, 由可得在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí), 由可得在上單調(diào)遞減, 由可得得在和上單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí), 由可得在上單調(diào)遞增.

④當(dāng)時(shí), 由可得在上單調(diào)遞減, 由可得得在和上單調(diào)遞增.

（3）由題意可知, 對(duì)時(shí), 恒有成立, 等價(jià)于,

由（2）知, 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,, 所以原題等價(jià)于時(shí), 恒有成立, 即.在時(shí), 由,故當(dāng)時(shí),

恒成立,.