Question

已知a_n=

C

n 200

（

3	6

）^200-n×（

1

2

）ⁿ，（n=1，2，…，95）則數(shù)列{a_n}中整數(shù)項的個數(shù)為

16

．

Answer 1

分析：由a_n=

C

n 200

•2

400-5n

6

•3

200-n

3

（n=1，2，…，95），通過對n取值的探討，使得

400-5n

6

與

200-n

3

均為整數(shù)，對應(yīng)的a_n為整數(shù)項即刻．

解答：解：∵a_n=

C

n 200

（

3	6

）^200-n•（

1

2

）ⁿ
=

C

n 200

•2

200-n

3

-

1

2

n•3

200-n

3

=

C

n 200

•2

400-5n

6

•3

200-n

3

（n=1，2，…，95），
經(jīng)驗證，當(dāng)n=2時，

400-5×2

6

=65，

200-2

3

66，a₃為整數(shù)項，
同理可得，當(dāng)n=8，14，…92時，

400-5n

6

與

200-n

3

均為整數(shù)，對應(yīng)的a_n為整數(shù)項．
∵2，8，14，…92是以2為首項，6為公差的等差數(shù)列，
由等差數(shù)列的通項公式得：92=2+（n-1）×6得：
n=16．
故數(shù)列{a_n}中整數(shù)項的個數(shù)為16．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，著重考查整除問題與等差數(shù)列的通項公式，考查化歸思想與分析運算能力，屬于中檔題．