(本小題共12分)如圖,四棱錐的底面是直角梯形,,,是兩個邊長為的正三角形,,的中點,的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求證:平面;

(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)證明:見解析;(Ⅱ)見解析;

(Ⅲ)直線與平面所成角的正弦值為

【解析】本題考查證明線面平行、線面垂直的方法,求直線和平面所成的角,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值,是解題的難點和關(guān)鍵

(Ⅰ)由條件先證明四邊形ABFD為正方形,由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD,由勾股定理求得PO⊥AO,從而證得PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)過O分別做AD,AB的平行線,以它們做x,y軸,以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出 OE.PF的坐標(biāo)

可得 OE∥PF,從而證得OE∥平面PDC.

(Ⅲ) 設(shè)平面PDC的法向量為

n=(x1,y1,z1),直線CB與平面PDC所成角θ,求出一個法向量為

CB= (-2,-2,0),可得n和CB

夾角的余弦值,即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值.

(Ⅰ)證明:設(shè)的中點,連接,則

,,∴四邊形為正方形,

的中點,∴的交點,

, ,

,

在三角形中,,∴,…………4分

,∴平面;            …………5分

(Ⅱ)方法1:連接,∵的中點,中點,∴,

平面平面,

平面.  …9分

方法2:由(Ⅰ)知平面,又,所以過分別做的平行線,以它們做軸,以軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由已知得,,,,

,則,,.∴

平面,平面,

平面;       …………9分

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為,直線與平面所成角,

,即,解得,令

則平面的一個法向量為,又

,

∴直線與平面所成角的正弦值為.     …………12分

 

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(本小題共12分)

如圖,已知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,O為坐標(biāo)原點,

定點B的坐標(biāo)為(2,0).

(1)若動點M滿足,求點M的軌跡C;

(2)若過點B的直線l′(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,QAD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=

(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;

(2)若二面角M-BQ-C為30°,設(shè)PM=tMC,試確定t的值.

 

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(本小題共12分)如圖,四邊形是矩形,平面,上一點,平面,點,分別是的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求證:.

 

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(本小題共12分)如圖所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,

F為CE上的點,且BF⊥平面ACE 

(1)求證:AE⊥平面BCE;

(2)求證:AE∥平面BFD;

 

 

 

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三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE。

 

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