Question

(本小題共12分)如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；(Ⅱ)見解析；

(Ⅲ)直線與平面所成角的正弦值為. 

【解析】本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值，是解題的難點和關(guān)鍵

（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出 OE.PF的坐標(biāo)

可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC．

（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為

n=(x₁，y₁，z₁)，直線CB與平面PDC所成角θ，求出一個法向量為

CB= (-2，-2，0)，可得n和CB

夾角的余弦值，即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點，連接，則

∵，，，∴四邊形為正方形，

∵為的中點，∴為的交點，

∵， ，

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，…………4分

∵，∴平面；            …………5分

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點，∴，

∵平面，平面，

∴平面.  …9分

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，，，，

，則，，，.∴∴

∵平面，平面，

∴平面；       …………9分

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，

則，即，解得，令，

則平面的一個法向量為，又

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.     …………12分