(本小題共12分)如圖,四棱錐的底面是直角梯形,
,
,
和
是兩個邊長為
的正三角形,
,
為
的中點,
為
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
(Ⅰ)證明:見解析;(Ⅱ)見解析;
(Ⅲ)直線與平面
所成角的正弦值為
.
【解析】本題考查證明線面平行、線面垂直的方法,求直線和平面所成的角,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值,是解題的難點和關(guān)鍵
(Ⅰ)由條件先證明四邊形ABFD為正方形,由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD,由勾股定理求得PO⊥AO,從而證得PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)過O分別做AD,AB的平行線,以它們做x,y軸,以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出 OE.PF的坐標(biāo)
可得 OE∥PF,從而證得OE∥平面PDC.
(Ⅲ) 設(shè)平面PDC的法向量為
n=(x1,y1,z1),直線CB與平面PDC所成角θ,求出一個法向量為
CB= (-2,-2,0),可得n和CB
夾角的余弦值,即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值.
(Ⅰ)證明:設(shè)為
的中點,連接
,則
∵,
,
,∴四邊形
為正方形,
∵為
的中點,∴
為
的交點,
∵,
,
∵,
∴,
,
在三角形中,
,∴
,…………4分
∵,∴
平面
; …………5分
(Ⅱ)方法1:連接,∵
為
的中點,
為
中點,∴
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
. …9分
方法2:由(Ⅰ)知平面
,又
,所以過
分別做
的平行線,以它們做
軸,以
為
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由已知得,
,
,
,
,
,則
,
,
,
.∴
∴
∵平面
,
平面
,
∴平面
;
…………9分
(Ⅲ)
設(shè)平面的法向量為
,直線
與平面
所成角
,
則,即
,解得
,令
,
則平面的一個法向量為
,又
則,
∴直線與平面
所成角的正弦值為
. …………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江哈爾濱市高三第五次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題共12分)
如圖,已知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,O為坐標(biāo)原點,
定點B的坐標(biāo)為(2,0).
(1)若動點M滿足,求點M的軌跡C;
(2)若過點B的直線l′(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江哈爾濱市高三第五次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題共12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=
.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C為30°,設(shè)PM=tMC,試確定t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市高三階段考試(二)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題共12分)如圖,四邊形是矩形,
平面
,
是
上一點,
平面
,點
,
分別是
,
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三第四次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題共12分)如圖所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,
F為CE上的點,且BF⊥平面ACE
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求證:AE∥平面BFD;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年陜西省漢中市漢臺區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題共12分)如圖,△ACD是等邊三角形,△ABC是等腰直角
三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE。
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