Question

已知集合P={x，y|3x-4y+3≥0，4x+3y-6≤0，y≥0，x≥0}，Q={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤r²}，若點M∈P是點M∈Q的必要條件，則當r最大時，ab的值為

 

．

Answer 1

考點：必要條件

專題：簡易邏輯

分析：先由點M∈P是點M∈Q的必要條件得Q⊆P，然后化簡集合A，B，利用圖象數形結合求解．

解答：解：若點M∈P是點M∈Q的必要條件，則Q⊆P，即集合Q所表示的點集在集合P內，
由于集合Q表示的是圓及其內部，故本題其實就是求圖示的四邊形AODC的內切圓半徑，
考慮到這個四邊形不一定有內切圓，所以，先確定三角形AOB的內切圓．A（

3

2

，0）、O（0，0）、B（0，2），
則三角形AOB的內切圓半徑是R=

OA+OB-AB

2

=（

3

2

+2-

5

2

）×

1

2

=

1

2

，
即三角形AOB的內切圓圓心為P（

1

2

，

1

2

）半徑為

1

2

，再計算點P到直線3x-4y+3=0的距離d=|

3

2

-2+3|×

1

5

5=

1

2

=R，
這說明圓P與直線3x-4y+3=0也相切，即Q中圓的最大半徑是

1

2

，
所以，R的最大值是

1

2

，此時圓心為（

1

2

，

1

2

），
從而當R最大時，ab=

1

4

．
故答案為；

1

4

．

點評：數形結合數學中常用方法，要熟練掌握．