Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1和x=3處取得極值，試求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，6]時(shí)，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-2ax+b，利用函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時(shí)取得極值，可求a，b；
（2）當(dāng)x∈[-2，6]時(shí)，f（x）＜2|c|恒成立，即轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于2|c|即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時(shí)取極值，∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=\frac{2}{3}a}\\{-1×3=\frac{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，當(dāng)x變化時(shí)，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	Max c+5	↘	Min c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]時(shí)f（x）的最大值為c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
當(dāng)c≥0時(shí)，c+54＜2c，∴c＞54，當(dāng)c＜0時(shí)，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值，利用最值解決恒成立問(wèn)題，要注意常規(guī)方法．