Question

20．已知f（x），x∈R是有界函數(shù)，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．
（1）F（x）=f（x+1）-f（x）是有界函數(shù)，則f（x），x∈R是否是有界函數(shù)？說明理由；
（2）判斷f₁（x）=$\frac{4x}{{{x^2}-2x+3}}$，f₂（x）=9^x-2•3^x是否是有界函數(shù)？
（3）有界函數(shù)f（x），x∈R滿足f（x+$\frac{1}{4}}$）+f（x+$\frac{1}{3}}$）=f（x）+f（x+$\frac{7}{12}}$），f（x），x∈R是否是周期函數(shù)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件舉反例f（x）=x，即可判斷，
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可，
（3）根據(jù)條件進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）否，反例：f（x）=x，F(xiàn)（x）=f（x+1）-f（x）=1有界，但f（x）=x無界．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f₁（x）=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f₁（x）=$\frac{4}{x+\frac{3}{x}-2}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{3}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{3}{x}}$-2=2$\sqrt{3}$-2，此時(shí)f₁（x）∈（0，$\frac{4}{2\sqrt{3}-2}$]，
當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{3}{x}$-2≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{3}{-x}}$-2=-2$\sqrt{3}$-2，此時(shí)f₁（x）∈[$\frac{4}{-2\sqrt{3}-2}$，0），
綜上f₁（x）∈[$\frac{4}{-2\sqrt{3}-2}$，$\frac{4}{2\sqrt{3}-2}$]，有界，
f₂（x）=9^x-2•3^x=（3^x-1）²-1≥-1，則|f₂（x）|≥0，則f₂（x）無界．
（3）$f（{x+\frac{4}{12}}）-f（x）=f（{x+\frac{7}{12}}）-f（{x+\frac{3}{12}}）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{12}{12}}）$，
∴$f（{x+1}）-f（x）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{4}{12}}）$，$f（{x+\frac{4}{12}}）-f（{x+\frac{1}{12}}）=f（{x+\frac{8}{12}}）-f（{x+\frac{5}{12}}）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{13}{12}}）$，
綜上$f（{x+1}）-f（x）=f（{x+\frac{13}{12}}）-f（{x+\frac{1}{12}}）$，
∴f（x+1）-f（x）=f（x+2）-f（x+1）
∴f（x+n）=f（x）+n（f（x+1）-f（x）），∵f（x）有界，∴f（x）=f（x+1），是周期函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，有界函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化求函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．