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20.已知f(x),x∈R是有界函數(shù),即存在M>0使得|f(x)|≤M恒成立.
(1)F(x)=f(x+1)-f(x)是有界函數(shù),則f(x),x∈R是否是有界函數(shù)?說(shuō)明理由;
(2)判斷f1(x)=4xx22x+3,f2(x)=9x-2•3x是否是有界函數(shù)?
(3)有界函數(shù)f(x),x∈R滿足f(x+\frac{1}{4}})+f(x+\frac{1}{3}})=f(x)+f(x+\frac{7}{12}}),f(x),x∈R是否是周期函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)根據(jù)條件舉反例f(x)=x,即可判斷,
(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可,
(3)根據(jù)條件進(jìn)行化簡(jiǎn),結(jié)合函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷.

解答 解:(1)否,反例:f(x)=x,F(xiàn)(x)=f(x+1)-f(x)=1有界,但f(x)=x無(wú)界.
(2)當(dāng)x=0時(shí),f1(x)=0,
當(dāng)x≠0時(shí),f1(x)=4x+3x2,
當(dāng)x>0時(shí),x+3x-2≥2x3x-2=23-2,此時(shí)f1(x)∈(0,4232],
當(dāng)x<0時(shí),x+3x-2≤-2x3x-2=-23-2,此時(shí)f1(x)∈[4232,0),
綜上f1(x)∈[4232,4232],有界,
f2(x)=9x-2•3x=(3x-1)2-1≥-1,則|f2(x)|≥0,則f2(x)無(wú)界.
(3)fx+412fx=fx+712fx+312=fx+1612fx+1212,
fx+1fx=fx+1612fx+412,fx+412fx+112=fx+812fx+512=fx+1612fx+1312,
綜上fx+1fx=fx+1312fx+112,
∴f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1)
∴f(x+n)=f(x)+n(f(x+1)-f(x)),∵f(x)有界,∴f(x)=f(x+1),是周期函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,有界函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化求函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力.

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