已知數(shù)列{bn}滿足條件：首項b1=1，前n項之和Bn=
3n2-n
2
．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的滿足條件：an=（1+
1
bn
） an-1，且a1=2，試比較an與
3bn+1
的大小，并證明你的結(jié)論．
分析：（1）由bn=Bn-Bn-1=
3n2-n
2
-
3(n-1)2-(n-1)
2
=3n-2，能得到數(shù)列{bn}的通項公式．
（2）由an=（1+
1
bn
）an-1，得
an
an-1
=1+
1
bn
，an=
an
an-1
•
an-1
an-2
•
a2
a1
a1，由a1=2，bn=3n-2知，an=（1+
1
3n-2
）（1+
1
3n-5
）（1+
1
4
）2=（1+1）（1+
1
4
）（1+
1
3n-2
），由此入手，利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證明an＞
3bn+1
．
解答：解：（1）當(dāng)n＞1時，bn=Bn-Bn-1
=
3n2-n
2
-
3(n-1)2-(n-1)
2
=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+
1
bn
）an-1，得
an
an-1
=1+
1
bn

∴an=
an
an-1
•
an-1
an-2
•
a2
a1
a1
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+
1
3n-2
）（1+
1
3n-5
）（1+
1
4
）2
=（1+1）（1+
1
4
）（1+
1
3n-2
）
又
3bn+1
=
33(n+1)-2
=
33n+1
，（5分）
設(shè)cn=
33n+1
，
當(dāng)n=1時，有（1+1）=
38
＞
33×1+1
=
34

當(dāng)n=2時，有an=（1+1）（1+
1
4
）=
5
2

=
3
125
8
＞
3
56
8
=
33×2+1
=cn
假設(shè)n=k（k≥1）時an＞cn成立，
即（1+1）（1+
1
4
）（1+
1
3k-2
）＞
33k+1
成立，
則n=k+1時，
左邊═（1+1）（1+
1
4
）（1+
1
3k-2
）（1+
1
3(k+1)-2
）
＞
33k+1
（1+
1
3(k+1)-2
）=
33k+1
3k+2
3k+1
（3分）
右邊=ck+1=
33(k+1)+1
=
33k+4

由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）
(3k+2)3
(3k+1)3
-（3k+4）
=
(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2
(3k+1)2

=
9k+4
(3k+1)2
＞0，得ak+1＞ck+1成立．
綜合上述，an＞cn對任何正整數(shù)n都成立．（3分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意數(shù)列遞推公式的合理運用，合理地運用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，a3=8，前3項的和S3=14
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=
n
2n
（n∈N*），證明：{bn}是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），若數(shù)列{an}滿足a1=1，an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)(n≥2，n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{bn+1-2bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求證：(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{}an中，如果存在常數(shù)T（T∈N*），使得an+T=an對于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an]的周期．已知數(shù)列{bn}滿足bn+2=|bn+1-bn|，若b1=1，b2=a，（a≤1，a≠0）當(dāng)數(shù)列{bn}的周期為3時，則數(shù)列{bn}的前2010項的和S2010等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1（x）．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．

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