Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 記b_n=10+log₉a_n，求{b_n}的前n項和T_n的最大值及相應(yīng)的n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2s_n+a_n=1（n∈N*）．可求得a₁=

1

3

，

an

an-1

=

1

3

，由等比數(shù)列的定義可以證明數(shù)列a_n是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=(

1

3

)n，bn=10+log9an=10-

n

2

，當(dāng)n滿足

bn≥0 bn+1≤

0時，可以求得T_n的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 2s_n+a_n=1，2s_n-1+a_n-1=1（n≥2，n∈N*）相減得3a_n=a_n-1（3分）
又2s₁+a₁=1得a1=

1

3

∴a_n≠0（5分）
∴

an

an-1

=

1

3

(n≥2，n∈N*)
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列 （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，an=(

1

3

)nbn=10+lo

g

9

an=10-

1

2

n，（10分）
當(dāng)T_n最大值時  

bn≥0 bn+1≤0

⇒19≤n≤20
∵n∈N^*，∴n=19或n=20（12分）
∴(Tn)max=T19=T20=

20× 19 2

2

=95（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項和數(shù)列求和，解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，利用等比數(shù)列的定義求通項，解決數(shù)列求和的關(guān)鍵是裂項，通過列項，出現(xiàn)正負相消，從而可求s_n．