Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1+x

x-1

（（a＞0且a≠1））．
（1）當(dāng)x∈（1，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）令函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5．當(dāng)a≥8時(shí)，存在最大實(shí)數(shù)t，使得x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，請寫出t與a的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解析式，求出函數(shù)的定義域，分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)x∈（1，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得答案．
（2）根據(jù)已知求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合a≥8，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，構(gòu)造出關(guān)于t與a的關(guān)系式．

解答：解：（1）由已知條件解得定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，∞），
由x∈（1，a-2），得a-2＞1，即a＞3（2分）
則f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，要使值域?yàn)椋?，+∞），
有f（a-2）=loga

a-1

a-3

=1
∴a=2+

3

（8分）
（2）g（x）=-ax2+8x+3=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

則函數(shù)y=g（x）的對稱軸x=

4

a

∵a≥8，
∴x=

4

a

∈(0，

1

2

]
函數(shù)y=g（x）在x∈（1，t]上單調(diào)減，則1＜x≤t，有g(shù)（t）≤g（x）＜g（1）
又g（1）=11-a≤3＜4，而t是最大實(shí)數(shù)使得x∈（1，t]恒有-5≤g（x）≤4成立，
所以-at²+8t+3=-5，即at²-8t-8=0（16分）

點(diǎn)評：本題是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，還需要大量的轉(zhuǎn)化，難度較大．