Question

已知奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）對于區(qū)間[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值；
（3）過點M（2，m）（m≠2）可作y=-f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)得到b=0，求出導數(shù)，令f′（1）=0，f（1）=2，求出a，c的值，即可得到解析式；
（2）區(qū)間[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c即為c≥f（x）_max-f（x）_min，求出區(qū)間[-2，2]上的最值，即可；
（3）點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=-f（x）上，設(shè)切點（x₀，x₀³-3x₀），切線斜率為3x₀²-3，則有3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，2x₀³-6x₀²+6+m=0關(guān)于x₀有三個不同的解，令h（x）=2x³-6x²+6+m，求出導數(shù)，以及極值，令極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可．

解答： 解：（1）∵奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），
∴b=0，
∴f′（x）=3ax²+c，
∵f（x）在x=1處取得極大值2，
∴f′（1）=0，f（1）=2，即3a+c=0，a+c=2，
∴a=-1，c=3．
∴f（x）=3x-x³．
（2）區(qū)間[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c等價為
c≥f（x）_max-f（x）_min，
由（1）得，f′（x）=3-3x²，f′（x）=0，x=±1．
∵f（-1）=-2，f（1）=2，f（-2）=2，f（2）=-2，
∴y=f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為2，最小值為-2．
∴c≥4，c的最小值為4．
（3）點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=-f（x）上，
設(shè)切點（x₀，x₀³-3x₀），切線斜率為3x₀²-3，則有
3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，2x₀³-6x₀²+6+m=0關(guān)于x₀有三個不同的解，
令h（x）=2x³-6x²+6+m，h′（x）=6x²-12x，
∴h（x）在（-∞，0），（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，
∴只要h（0）=6+m＞0，且h（2）=-2+m＜0，
∴-6＜m＜2．即實數(shù)m的取值范圍是（-6，2）．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，求極值，是一道綜合題．