Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離等于$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=$\sqrt{5}$，f（${\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，△ABC的面積為$2\sqrt{5}$，求邊c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算，化簡函數(shù)f（x）的解析式，然后，結(jié)合周期公式，確定ω的值，從而可求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）及已知，先確定cosC的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，然后結(jié)合三角形面積公式可求b，利用余弦定理即可得解c的長．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=m•n={cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωxsinωx$
=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx=2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，
由f（x）相鄰兩對稱軸間的距離等于$\frac{π}{2}$，得T=π，
∴$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（6分）
（Ⅱ）∵由$f（{\frac{C}{2}+\frac{π}{6}}）=2sin（{C+\frac{π}{3}+\frac{π}{6}}）=2cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，
∴$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴$sinC=\frac{2}{3}$，
又∵$a=\sqrt{5}$，△ABC的面積為$2\sqrt{5}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•\sqrt{5}•b•\frac{2}{3}=2\sqrt{5}$，
∴求得b=6，
∵由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=21，
∴$c=\sqrt{21}$．…（12分）

點評 本題綜合考查了三角恒等變換公式，平面向量數(shù)量積的運算等知識，考查了余弦定理及其運用等，屬于中檔題．