Question

11．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}2x-y≤0\\ x-3y+5≥0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，則$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$的最小值為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，結(jié)合指數(shù)冪的運算法則，通過平移即先求出z的最小值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$=（$\frac{1}{2}$）^2x+y，
設m=2x+y，
由m=2x+y，得y=-2x+m，
平移直線y=-2x+m，由圖象可知當直線y=-2x+m經(jīng)過點A時，直線y=-2x+m的截距最大，此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-3y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即A（1，2），
此時m=2×1+2=4，z═（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．