Question

設(shè)函數(shù)f（x）=•定義在R上，其中．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)延長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，
∴y=f（x）=2cos²x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），可得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)延長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（x-）
∵x∈[O，2π]，∴x-∈[-，]
∴sin（x-）∈[-，]
∴2sin（x-）∈[-1，]
∵f（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，
∴-1＜m+2，∴m＞-3．
分析：（1）先利用向量的數(shù)量積公式，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求得結(jié)論；
（2）先求函數(shù)y=g（x），再求函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查輔助角公式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．