Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時有

x•f′(x)-f(x)

x2

＜0，則不等式x²•f（x）＞0的解集是（　�。�

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-2，0）∪（0，2）

D．（-2，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把

xf′(x)-f(x)

x2

＜0化為[

f(x)

x

]′＜0；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
所以

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（2）=0，
所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案為（-∞，-2）∪（0，2）．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．