【題目】如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四邊形ABEF是矩形,將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M為AF1的中點,如圖2.
(1)求證:BE1⊥DC;
(2)求證:DM∥平面BCE1;
(3)判斷直線CD與ME1的位置關系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.(3)相交,理由詳見解析
【解析】試題分析:(1)由面面垂直性質(zhì)定理得BE1⊥平面ABCD,即得BE1⊥DC;(2)根據(jù)AM∥BE1,AD∥BC,可根據(jù)線面平行判定定理得線面平行,再根據(jù)面面平行判定定理得面面平行,即得結(jié)論(3)取BC的中點P,CE1的中點Q,易得MQ∥CD,因此相交
試題解析:(1)證明 因為四邊形ABE1F1為矩形,
所以BE1⊥AB.
因為平面ABCD⊥平面ABE1F1,
且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB,
BE1平面ABE1F1,
所以BE1⊥平面ABCD.
因為DC平面ABCD,
所以BE1⊥DC.
(2)證明 因為四邊形ABE1F1為矩形,
所以AM∥BE1.
因為AD∥BC,AD∩AM=A,BC∩BE1=B,
AD平面ADM,AM平面ADM,
BC平面BCE1,BE1平面BCE1,
所以平面ADM∥平面BCE1.
因為DM平面ADM,
所以DM∥平面BCE1.
(3)解 直線CD與ME1相交,理由如下:
取BC的中點P,CE1的中點Q,連接AP,PQ,QM,
所以PQ∥BE1,且PQ=BE1.
在矩形ABE1F1中,M為AF1的中點,
所以AM∥BE1,且AM=BE1,
所以PQ∥AM,且PQ=AM.
所以四邊形APQM為平行四邊形,
所以MQ∥AP,MQ=AP.
因為四邊形ABCD為梯形,P為BC的中點,BC=2AD,
所以AD∥PC,AD=PC,
所以四邊形ADCP為平行四邊形.
所以CD∥AP且CD=AP.
所以CD∥MQ且CD=MQ.
所以四邊形CDMQ是平行四邊形.
所以DM∥CQ,即DM∥CE1.
因為DM≠CE1,
所以四邊形DME1C是以DM,CE1為底邊的梯形,
所以直線CD與ME1相交.
點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù) .
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)設函數(shù),若對任意的,都有 ,求的取值范圍;
(3)設,點是函數(shù)與的一個交點,且函數(shù)與在點處的切線互相垂直,求證:存在唯一的滿足題意,且.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“微信運動”已成為當下熱門的運動方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù) 性別 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定為“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關?
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
(2)若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (其中e是自然對數(shù)的底數(shù),常數(shù)a>0).
(1)當a=1時,求曲線在(0,f(0))處的切線方程;
(2)若存在實數(shù)x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,點O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.
(1)求證:PB∥平面COD;
(2)求二面角O-CD-A的余弦值.
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【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線,且, 且∥.
(Ⅰ)設點為棱中點,求證: 平面;
(Ⅱ)線段上是否存在一點,使得直線與平面所成角的正弦值等于?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】在某單位的食堂中,食堂每天以10元/斤的價格購進米粉,然后以4.4元/碗的價格出售,每碗內(nèi)含米粉0.2斤,如果當天賣不完,剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養(yǎng)豬場.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示,若食堂購進了80斤米粉,以(斤)(其中)表示米粉的需求量, (元)表示利潤.
(1)估計該天食堂利潤不少于760元的概率;
(2)在直方圖的需求量分組中,以區(qū)間中間值作為該區(qū)間的需求量,以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量在該區(qū)間的概率,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓的中點在原點,焦點在軸上,離心率,以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的兩條直線, ,交橢圓于, , , 四點,若,求四邊形的面積.
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