Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{12}$）；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，從而求得f（$\frac{π}{12}$）的值．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性，求得f（x）的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
所以，f（$\frac{π}{12}$）=sin$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{6}$-1=-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．    
（Ⅱ）f（x）=sin2x-cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，
當sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1 時，函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性，屬于基礎題．